指数分布(Exponential distribution)的MGF推导

嗯嗯,这里是指数分布(Exponential distribution)的MGF(动差生成函数)推导。

指数分布的MGF推导
指数分布的MGF推导

 {\Phi }_{X}(s) = E[{e}^{sx}] = \int_{-\infty}^{\infty}{e}^{sx}\cdot {f}_{X}(x)dx


代入指数分布的PMF,求积分。

 = \int_{0}^{\infty}{e}^{sx}\lambda {e}^{-\lambda x}dx


 =\lambda \int_{0}^{\infty} {e}^{(s-\lambda)x}dx


 s-\lambda < 0 时收敛

 = \lambda \cdot \frac{1}{ s-\lambda } {e}^{(s-\lambda )x}\mid \ (\infty - 0)

 = \frac{-\lambda}{s-\lambda} = {(\frac{s-\lambda}{-\lambda})}^{-1}

 ={(1- \frac{s}{\lambda})}^{-1}