嗯嗯，这里是指数分布(Exponential distribution)的MGF(动差生成函数)推导。
\[ {\Phi }_{X}(s) = E[{e}^{sx}] = \int_{-\infty}^{\infty}{e}^{sx}\cdot {f}_{X}(x)dx \]
代入指数分布的PMF，求积分。
\[ = \int_{0}^{\infty}{e}^{sx}\lambda {e}^{-\lambda x}dx \]
\[ =\lambda \int_{0}^{\infty} {e}^{(s-\lambda)x}dx \]
在\( s-\lambda < 0 \)时收敛
\[ = \lambda \cdot \frac{1}{ s-\lambda } {e}^{(s-\lambda )x}\mid \ (\infty - 0) \]
\[ = \frac{-\lambda}{s-\lambda} = {(\frac{s-\lambda}{-\lambda})}^{-1} \]
\[ ={(1- \frac{s}{\lambda})}^{-1} \]