几何分布(Geometric Distribution)的MGF推导

嗯,丙绅老师,我已经把Geometric Distribution的MGF推导出来了!
脑补MGF:MGF-维基百科

机率课作业题: 几何分布的MGF推导
机率课作业题:几何分布的MGF推导


几何分布:每次试验成功率为p,x是取得一次成功所需要的试验次数。
Pr(x) = (1-p)^xp

MGF推导:

 {\phi}_{X}(s) = E[{e}^{sX}] = \sum {e}^{sX}{p}_{X}(x)
 = \sum_{0}^{\infty}{e}^{sx}\cdot {1-p}^{x}p
 = p\sum_{0}^{\infty} {[{e}^{s}(1-p)]}^x
 = p \frac{1}{1-{e}^{s}(1-p)}
 = \frac{p}{1-{e}^{s}(1-p)}

最后一步用到等比数列求和公式,突然发现好简单...